Kategori arşivi: Matematik

Kümeler

KÜMELER


A=ía,b,cý                                  s(A)=3


Alfabenin ilk 3 harfi



Boş Küme: Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir.


Æ            veya        í ý        şeklinde gösterilir.



SÌNÌZÌQ                                                               QÈI=R


Sonlu Küme: Elemanları sayılabilen kümelerdir.

Sonsuz Küme: Elemanları sayılamayan kümelerdir.

Alt Küme:Bir A kümesinin her bir elemanı bir B kümesinin de elemanı ise A, B’ nin alt kümesidir.


A Ì B                                     B kapsar A

¯                                                                A, B’ nin alt kümesidir.

Kapsar

Alt Küme Sayısı: n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n’ dir.

Özalt Küme: Bir A kümesinin alt kümelerinden kendisinin çıkarılmasıyla oluşan kümelere denir.


n elemanlı bir kümenin özalt kümelerinin sayısı 2n –1’ dir.


ALT KÜMENİN ÖZELLİKLERİ

  1. Bir A kümesi için Æ Ì A’ dır.       Þ    Boş küme her kümenin alt kümesidir.
  2. Bir A kümesi için  A Ì A’ dır       Þ     Her küme kendisinin alt kümesidir.
  3. A Ì B  ve  B Ì A                          Û      A = B
  4. A Ì B  ve  B Ì C                          Û      A Ì C


í Æ ý     Þ     Æ,    í Æ ý

Æ        Þ     Æ





Evrensel Küme: Üzerinde işlem yapılabilen kümeleri kapsayan kümeye denir.    “ E ” harfi ile gösterilir.

Tümleme: Bir E evrensel kümesi verilsin. E içinde bir A kümesi olsun. E’ nin içinde olup

A’ nın dışında kalan elemanların kümesine A’ nın tümleyeni denir ve A¢ ile gösterilir.




TÜMLEMENİN ÖZELLİKLERİ

1.1- ( A¢ )¢ =  A                                               5.   AÈE   =   E

2.2- E¢       =  Æ                                              6.   AÇA¢  =  Æ

3.3- Æ¢      =  E                                               7.   AÈA¢  =   E

4.4- AÇE  =  A                                               8.   AÌB   Þ  B¢ÌA¢


Denk Küme: Eleman sayıları aynı olan kümelere denk küme denir.

Eşit Küme: Elemanları aynı olan kümelere eşit küme denir.

Ayrık Küme: Ortak elemanı olmayan kümelere denir.


BİRLEŞİM İŞLEMİ

İki kümenin birleşim işlemi bütün elemanların bir küme içinde belirtilmesi ile oluşur. Aynı elemanlar iki kere tekrarlanmaz.

ÖZELLİKLER

1.1- A È A  =   A (Tek kuvvet özelliği)

2.2- A È B  =   B È A ( Değişme özelliği)

3.3- A È ( B È C)  =  ( A È B ) È C  (Birleşme özelliği)

4.4- A È Æ  = Æ È A  =  A  (Etkisiz eleman Æ)

5.5- A Ì B  Þ  A È B = B’ dir

6.6- A È B  =  Æ      Û    A = Æ ve  B = Æ

7.7- A ile B ayrık kümeler ise s( A È B ) = s( A ) + s( B )

8.8- A ile B ayrık kümeler değil ise s( A È B ) = s( A ) + s( B ) – s( A Ç B )

KESİŞİM İŞLEMİ

İki kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye kesişim kümesi denir.

ÖZELLİKLER


1-)A∩A=A

2-)A∩B=B∩A

3-)A∩(B∩C)=(A∩C)∩C

4-)A∩ø=ø∩A=ø (YUTAN ELEMAN ø DİR)

5-)AÌBÞA∩B=A

6-)A∩B =øÞA=ø VEYA B=ø VEYA A İLE B AYRIKTIR.



DAĞILMA ÖZELLİĞİ

1-)A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C)


***(A∩B)U(A∩B’)=A∩(BUB’)

E

=A∩E

=A

2-)AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC)

3-) DE MORGAN KURALI


a)(AUB)’=A’∩B’

b)(A∩^B)’=A’UB’



FARK İŞLEMİ

Tanım:A veB kümeleri verilsin .a’nın elemanı olup b’nin elemanı olmayan elemanların kümesine a fark b kümesi denir ve A-Bveya a\b ile gösterilir.


SONUÇ:

1-)S(AUB)=s(AUB) +S(A∩B) +S(B-A)

2-)A-B=A∩B’

Fark İşleminin Özellikleri:

1-)A-A=ø

2-)Ø-A=ø

3-)A-ø=A

4-)A-B¹B-A

5-)E-A=A’


3 KÜMENİN BİRLEŞİM KÜMESİNİN BULUNMASI

s(AUBUC)=s(A)+s(B)+s(C)-s(A∩B)-s(A∩C)-s(B∩C)+s(A∩B∩C)


Doğal Sayılar Testi 2

DOĞAL SAYILAR -2-

1)74 sayısının çözümlenmiş şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) 6 onluk + 4 birlik 
B) 7 onluk + 4 birlik
C) 4onluk + 7 birlik 
 
2)5 onluk + 6 birlik şeklinde çözümlenmiş olan sayı aşağıdakilerden hangisidir?
         A) 56          B) 65           C) 11
 
3)34 ile 37 sayıları arasındaki tek sayı aşağıdakilerden hangisidir?
         A) 33          B) 35     C) 36
 
4)İki basamaklı en büyük doğal sayı kaçtır?
A) 89          B) 99           98
 
5)3 ve 8 sayıları birer kez kullanılarak yazılabilecek en büyük sayı kaçtır?
         A) 38          B) 83           C) 88

 
6)Onlar basamağında 4, birler basamağında 8 olan sayı aşağıdakilerden hangisidir?
         A) 84    B) 480      C) 48
 
7)Aşağıdaki eşitsizliklerden hangisi yanlıştır?
     A) 34 < 31     
     B) 45 < 65     
     C) 18 > 15
 
8)2 düzine kalem, 2 deste kalemden kaç tane fazladır?
         A) 2            B) 4            C) 6

 
9)8 onluk ve 4 birlikten oluşan sayıya 5 birlik daha eklenirse sayının değeri kaç olur?
         A) 84          B) 89           C) 62
 
10)Bir basamaklı en büyük çift doğal sayı kaçtır?
         A) 9            B) 8            C) 10

Cevaplar

1-B 2-A 3-B 4-B 5-B 6-C 7-A 8-B 9-B 10-B

Onluk Sayma Sistemi

ONLUK SAYMA SİSTEMİ

Sayma işlemi sonucunda bulunan sayıyı yazma ve işlem yapma kolaylığı bakımından en uygun sayma sistemi onluk sayma sistemidir. Sayıları onluk sistemde yazmak için on tane rakam kullanılır bu rakamlar

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

 

bu rakamlara bir basamaklı doğal sayılar denir.

 

Sayıda; rakamın bulunduğu yere, basamak denir. Sayı yan yana kaç rakam ile yazılmışsa basamak sayısı da o kadardır. 23 sayısı iki basamaklı bir sayıdır. 3 ün yazıldığı yere birler basamağı, 2 nin yazıldığı yere onlar basamağı denir.

 

23 = 2.(10) + 3.(1)

 

*23 sayısı 2 onluk ve 1 birlikten oluşur.

 

Benzer şekilde; 146 sayısı 1 yüzlük, 4 onluk, 6 birlikten oluşur ve 146 = 1.(100) + 4.(10) + 6.(1) şeklinde yazılır.

 

Onluk gruplar halinde oluşturulan bu sayma düzenine onluk sayma sistemi denir.

Basamaklar, onluk sayma sisteminde sağdan sola doğru; birler, onlar, yüzler, binler, onbinler, yüzbinler,.. diye adlandırılır.

 

Onluk sayma sisteminde her basamak değeri sağındakinin on katıdır.

Çok büyük sayıların yazılıp okunması için; sayının basamakları, sağdan başlanarak üçerli gruplara ayrılır. Bu grupların her birine bölük denir.

 

Çok büyük bir doğal sayı okunurken şu yol izlenir.

 

1)Sayı, sağdan sola doğru bölüklere ayrılır.

 

2)En soldaki bölükten başlayarak, bölükteki sayılar okunur, arkasından bölüğün adı söylenir ve sıra ile sağa doğru devam edilir.

 

3)En sağdaki bölükte bulunan sayı okunur, bölük adı söylenmez.

 

Bütün basamaklarda sıfır olan bölük okunmaz.

 

Buna göre 345,128,307 sayısının okunuşuna yazalım

üç yüz kırk beş milyon yüz yirmi sekiz bin üç yüz yedi

 

Rakamların Basamak Ve Sayı Değerleri

Rakamların basamak değeri

Sayıdaki bir rakamın bulunduğu basamağa göre aldığı değere, bu rakamın basamak değeri denir.

 

2546 basamak değeri

6.1 = 6

4.10 = 40

5.100 = 500

2.1000 = 2000

toplam 2546

 

Not : Basamak değerlerinin toplamı sayının kendisidir.

 

 

 

 

 

Doğal Sayılar

Doğal sayılar – tam sayılar

rakam :sayıları ifade etmeye yarayan sembollere “ rakam” denir.

*{0,1,2,,3,,4,5,6,7,8,9} ONLUK SİSTEMİN RAKAMLARIDIR.

*{ 0,1,2} ÜÇLÜK SİSTEMİN RAKAMLARIDIR.

ÖRNEK: x ve y farklı rakamlar ise x + y ve x .y nin en büyük değeri nedir?

*

x + y = 17 x . y = 72

ÖRNEK: x ve y rakam olmak üzere x + y ve x . y nin en büyük değeri nedir?

x + y = 18 x . y = 81

SAYI: Rakamların bir çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeye “sayı” denir.

NOT: Her rakam bir sayıdır , fakat her sayı bir rakam değildir.

72 sayıdır fakat rakam değildir.

7 hem sayı , hem de rakamdır.

DOŞAL SAYILAR

N = {0,1,2,3,4,………….} Kümesinin her bir elemanına “doğal sayı” denir.

N+ = { 1,2,3,4,…………..} Kümesinin elemanlarına “ sayma sayıları” veya “pozitif doğal sayılar” denir.

TAM SAYILAR

Z = { ………..-3,-2,-1,0,1,2,3,……….}Ş tam sayılar

Z = { ……………..-4,-3,-2,-1} Ş negatif tam sayılar

Z+= {1,2,3,4,……………………} Şpozitif tam sayılar

Doğal Sayılar Kümesi

DOĞAL SAYILAR KÜMESİ VE ONLUK SAYMA SİSTEMİ:

Denk Kümeler ve Doğal Sayılar:

Kümelerin eleman sayısını gösteren 0, 1, 2, 3 .. gibi sayıların her birine doğal sayı denir, doğal sayılar sıfırdan başlar , sonsuza kadar devam eder. Doğal sayıların oluşturduğu kümeye Doğal Sayılar Kümesi denir, N ile gösterilir.

N = { 0, 1, 2, 3, 4, …. }

Sayma Sayıları:

Suluova da kaç tane ilköğretim okulu vardır? Sorusuna karşılık verilen “bir, iki, üç … ” sayılarına sayma sayıları denir. Sayma sayılarının oluşturduğu kümeye sayma sayıları kümesi denir. S ile gösterilir.

S = { 1, 2, 3, 4, … }

Ayrıca 0Ï S olup S Ì N veya N É S dir

Ardışık Sayılar:

Bir doğal sayının bir fazlası olan doğal sayıya o doğal sayının ardışığı denir. Ardışık iki doğal sayı arasında başka bir doğal sayılar yoktur.

4 ün ardışığı 4+1=5 4 < 5

Doğal Sayılarda Sıralama:

Her han gi sayıdaki doğal sayıdan sayı doğrusundaki yerleri göz önüne alınarak en solda bulunan doğal sayı en küçüğüdür.Bir başka deyişle sayı doğrusu üzerindeki dizilişleri küçükten büyüğe doğru dizilişle aynıdır.

İki Doğal Sayı Arasındaki Doğal Sayıların Sayısını Bulma:

İki doğal sayı arasında kaç tane doğal sayı olduğunu bu sayıların farkından 1 çıkararak buluruz.

Örnek:

81 ile 52 arasında kaç tane doğal sayı vardır?

81 – 52 = 29

29 – 1 = 28

  • ane doğal sayı vardır.

Ardışık Sayılar

ARDIŞIK SAYILAR

n �Z Z olmak üzere

Ardışık tam sayılar

n , n + 1 , n + 2 , n + 3 ,…………

Ardışık çift sayılar

2n , 2n + 2 , 2n + 4 ,……………..

Ardışık tek sayılar

2n – 1 , 2n + 1 , 2n + 3 ,…………

3’ ün katı olan ardışık sayılar

3n , 3n +3 ,3n +6…………

ÖRNEK : Ardışık üç çift tam sayının toplamı 66 ise bu sayıların en büyüğü kaçtır?

Cevap: Eğer 66 sayısını üçe bölersek ortanca sayıyı buluruz.

66:3=22 (ortanca sayı),Büyük sayı 24,küçük sayıda 20 dir.

ARDIŞIK SAYILARIN TOPLAMI

1 + 2 + 3+………..+ n =

2 + 4 + 6+……..+ 2n = n.( n + 1 )

1 + 3 + 5 +………+ ( 2n – 1 ) = n 2

ASAL SAYILAR:1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan 1’ den büyük doğal sayılara “asal sayı” denir.

2 ,3,5,7,11,13,17…………asal sayıdır.

NOT : 1 asal sayı değildir.

ARALARINDA ASAL SAYILAR:1’ den başka ortak böleni olmayan sayılara “aralarında asal sayılar” denir.

4 ile 7 aralarında asaldır.

9 ile 25 aralarında asaldır.

Bölünebilme

2 İle Bölünebilme

 

x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 2 ile tam bölünebilmesi için

x º 0 (mod2) olmalı

x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . . +a1.101+a0

10 º 0(mod2) olduğuna göre "nN için 10n º 0 (mod2)

x º 0+0+0+ . . . +a0 º 0 (mod2) olmalı.

 

Demek ki a0 º 0(mod2) olmalı.

 

“O halde bir sayının 2 ile bölünebilmesi için son basamaktaki sayı çift olmalıdır.”

 

 

3 İle Bölünebilme

 

x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 3 ile tam bölünebilmesi için

x º 0 (mod3) olmalı

x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . . +a1.101+a0

10 º1 (mod3) olduğuna göre "nN için 10n º 1(mod3)

x º an.1+an-1.1+ . . . +a.1+a0 º 0 (mod3) olmalı

 

Demek ki an+an-1+an-2+ . . . +a1+a0 º 0 (mod3) olmalı

 

“O halde rakamlarının toplamı 3 ün katı olmalıdır.”

 

4 İle Bölünebilme

 

x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 4 ile tam bölünebilmesi için

x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . .+a2.102+a1.101+a0 º0 (mod4) olmalı

 

101 º 2 (mod4)

102 º 0 (mod4)

103 º 0 (mod4)

104 º 0 (mod4)

 

O halde

x º an.0+an-1.0+ . . . +a2.0+a1.10+a0 º 0 (mod4)

a1.10+a0 º 0 (mod4) olmalı

 

“O halde sayının son iki basamağındaki sayı 4 ile tam bölünebilmelidir.

 

 

5 İle Bölünebilme

 

x = anan-1an-2 . . .a0 sayısının 5 ile tam bölünebilmesi için

x º 0 (mod5) olmalı

x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . .+a1.101+a0

10 º 0 (mod5) olduğuna göre "nN için 10n º 0(mod5)

x º an.0+an-1.0+ . . . +a1.0+a0 º 0 (mod5) olmalı

a0 º (mod5)

 

“O halde son basamaktaki sayı 0 ya da 5 olmalıdır.”

 

 

 

6 İle Bölünebilme

 

x = anan-1an-2 . . .a1a0 sayısının 6 ile tam bölünebilmesi için

x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0(mod6) olmalı

6 = 2 . 3 olduğuna göre x º 0 (mod6) ise

x º 0 (mod2) ve x º 0 (mod3) olmalıdır.

 

O halde hem 2 ile hem de 3 ile bölünebilme kuralını birlikte sağlamalıdır.”

 

7 İle Bölünebilme

 

x = anan-1an-2 . . .a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için

x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0(mod7)

 

101 º 3 (mod7)

102 º 2 (mod7)

103 º 6 º -1 (mod7)

104 º-3 (mod7)

105 º-2 (mod7)

106 º 1 (mod7)

 

O halde sayının basamaklarının sağdan sola doğru 3’er 3’er grupladıktan sonra her grup sırasıyla birer birer (+) yada (-) işaretleri koyulduktan sonra sağdan sola doğru her basamaktaki sayıyı sırasıyla işaretleri ve “1”,”3” ve “2” sayılarıyla çarptıktan sonra bulunan toplam sayı 7’nin katı olmalıdır.”

 

8 İle Bölünebilme

 

x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 8 ile tam bölünebilmesi için

x º 0(mod8) olmalı

x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0(mod8) olmalı

 

101 º 2 (mod8)

102 º 4 (mod8)

103 º 0 (mod8) "nN+ ve n ³ 3 için 10n º 0 (mod8)

104 º 0 (mod8)

 

x = an.0+an-1.0+ . . . + a3.0+a2.102+a1.10+a0 º 0 (mod8) olmalı

a2.102+a1.10+a0 = a2a1a0 º 0 (mod8) olmalı

 

“O halde son 3 basamağındaki sayı 8 in katı olmalıdır.”

 

 

 

9 İle Bölünebilme

 

x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 9 ile tam bölünebilmesi için

x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0 (mod9) olmalı.

10 º 1(mod9) "nN için 10n º 1(mod9)

 

x = an.1+an-1.1+an-2.1+ . . . +a1.1+a0 º 0 (mod9) olur

an+an-1+an-2+ . . . a1+a0 º 0 (mod9) olur.

 

“O halde sayının rakamlarının toplamı 9’un katı olmalıdır.”

 

 

 

11 İle Bölünebilme

 

x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için

x º 0 (mod11) olmalı

x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0

 

101 º -1 (mod11)

102 =100 º 1 (mod11)

103 º-1 (mod11)

104 º 1 (mod11)

105 º-1 (mod11)

106 º 1 (mod11)

 

x = an.(1)+an-1.(-1)+an-2.(1)+ . . . +a2.(1)+a1.(-1)+a0

an-an-1+an-2+ . . . +a2-a1+a0 º 0 (mod11)

 

“O halde sayının rakamları sağdan sola doğru (+1) ve (-1) ile çarparak toplandığında bulunan sayı 11’in katı olmalıdır.”

 

 

21 İle Bölünebilme

 

21 = 3 . 7

 

Hem 3 hem de 7 ile bölünebilme kurallarını birlikte sağlamalıdır.”

 

 

 

BÖLÜNEBİLME KURALLARI

 

Çift Sayılar : Birler basamağı 0,2,4,6,8 olan sayılara çift sayılar denir

Tek Sayılar : Birler basamağı 1,3,5,7,9 olan sayılara tek sayılar denir

 

2 ile bölünebilme : Bir doğal sayının 2 ye kalansız bölünebilmesi için; sayının çift olması gerekir, yani birler basamağının çift olması gerekir.

 

Örnek: 2318 sayısı birler basamağı çift olduğu için 2 ye kalansız olarak bölünür.

 

3 ile bölünebilme : Bir doğal sayının 3 e kalansız bölünebilmesi için;sayının rakamları toplamının 3 veya 3′ ün katı olması gerekir.

Örnek: 8194 sayısı 8+1+9+4 =22 olup 22 3 ün katı olmadığından 3 e kalansız olarak bölünmez.

 

5 ile bölünebilme : Bir doğal sayının 5 e kalansız bölünebilmesi için; sayının birler basamağının 0 veya 5 olması gerekir.

 

Örnek: 760 sayısı birler basamağı 0 olduğu için 5 e kalansız olarak bölünür.

 

9 ile bölünebilme : Bir doğal sayının 9 a kalansız bölünebilmesi için;sayının rakamları toplamının 9 veya 9 un katı olması gerekir.

 

Örnek: 64548 sayısı 6+4+5+4+8 = 27 olup 27 9 un katı olduğundan 9 a kalansız olarak bölünür